Question

【題目】如圖，過原點的直線和與反比例函數的圖象分別交于兩點A，C和B，D，連結AB，BC，CD，DA．

（1）四邊形ABCD一定是 形；（直接填寫結果）

（2）四邊形ABCD可能是矩形嗎？若可能，試求此時k1和k2之間的關系式；若不可能，說明理由；

（3）設P（，），Q（，）（x2 ＞x1 ＞0）是函數圖象上的任意兩點，，，試判斷，的大小關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）平行；（2）k1k2=1；（3）a＞b．

【解析】

試題分析：（1）由直線y=k1x和y=k2x與反比例函數y=的圖象關于原點對稱，即可得到結論．

（2）聯立方程求得A、B點的坐標，然后根據OA=OB，依據勾股定理得出 =，兩邊平分得=，整理后得（k1-k2）（k1k2-1）=0，根據k1≠k2，則k1k2-1=0，即可求得；

（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函數y=圖象上的任意兩點，得到y1=，y2=，求出a=，得到a-b===＞0，即可得到結果．

試題解析：（1）∵直線y=k1x和y=k2x與反比例函數y=的圖象關于原點對稱，

∴OA=OC，OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）解：∵正比例函數y=k1x（k1＞0）與反比例函數y=的圖象在第一象限相交于A，

∴k1x=，解得x=（因為交于第一象限，所以負根舍去，只保留正根）

將x=代入y=k1x得y=，

故A點的坐標為（，）同理則B點坐標為（，），

又∵OA=OB，

∴=，兩邊平方得：=，

整理后得（k1-k2）（k1k2-1）=0，

∵k1≠k2，

所以k1k2-1=0，即k1k2=1；

（3）∵P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函數y=圖象上的任意兩點，

∴y1=，y2=，

∴a=，

∴a-b===，

∵x2＞x1＞0，

∴（x1-x2）2＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，

∴＞0，

∴a-b＞0，

∴a＞b．