Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AC為直徑，＝，DE⊥BC，垂足為E．

（1）求證：CD平分∠ACE；

（2）判斷直線ED與⊙O的位置關系，并說明理由；

（3）若CE=1，AC＝4，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）、證明過程見解析；（2）、相切，理由見解析；（3）、

【解析】

試題分析：（1）、根據內角四邊形得出∠BAD＋∠BCD＝180°，根據∠BCD＋∠DCE＝180°得到∠DCE＝∠BAD，根據弧相等得到∠BAD＝∠ACD，則∠DCE＝∠ACD，得到平分；（2）、連接OD，根據OC=OD，得出∠ODC=∠OCD，根據∠DCE=∠ACD得到∠DCE=∠ODC，即OD∥BE，根據DE⊥BC得到OD⊥DE，得到切線；（3）、根據直徑得出∠ADC=∠E=90°，根據∠DCE=∠ACD得到△DCE∽△ACD，求出CD的長度，根據陰影部分的面積等于扇形的面積減去△OCD的面積得出答案.

試題解析：（1）、∵四邊形ABCD是⊙O內接四邊形，

∴∠BAD＋∠BCD＝180°，

∵∠BCD＋∠DCE＝180°，

∴∠DCE＝∠BAD，

∵＝，

∴∠BAD＝∠ACD，

∴∠DCE＝∠ACD，

∴CD平分∠ACE．

（2）、ED與⊙O相切．

理由：連接OD，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，

∵∠DCE＝∠ACD，∴∠DCE＝∠ODC，∴OD∥BE，

∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，∴ED與⊙O相切．

（3）、∵AC為直徑，∴∠ADC＝90°=∠E，∵∠DCE＝∠ACD，∴△DCE∽△ACD，

∴=，即=，∴CD=2，

∵OC＝OD＝CD=2，∴∠ DOC＝60°，

∴S陰影＝S扇形－S△OCD＝π－．