Question

【題目】問題背景：

如圖①，在四邊形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究線段AC，BC，CD之間的數量關系．

小吳同學探究此問題的思路是：將△BCD繞點D，逆時針旋轉90°到△AED處，點B，C分別落在點A，E處（如圖②），易證點C，A，E在同一條直線上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=CD，從而得出結論：AC+BC=CD．

簡單應用：

（1）在圖①中，若AC=2，BC=4，則CD= ．

（2）如圖③，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙上，弧AD＝弧BD，若AB=13，BC=12，求CD的長．

拓展規律：

（3）如圖4,△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點P為AB的中點，若點E滿足AE=AC，CE=CA，且點E在直線AC的左側時，點Q為AE的中點，則線段PQ與AC的數量關系是 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】

（1）由題意可知：AC+BC= CD，所以將AC與BC的長度代入即可得出CD的長度；（2）連接AC、BD、AD即可將問題轉化為第（1）問的問題，利用題目所給出的證明思路即可求出CD的長度；（3）當點E在直線AC的左側時，連接CQ、CP后，利用（2）的結論進行求解即可．

（1）由題意知：AC+BC= CD，

∴2+4 = CD，

∴CD=3；

（2）解：連接AC、BD、AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=∠ACB=90°，

∵ ，

∴AD=BD，

將△BCD繞點D，逆時針旋轉90°到△AED處，如圖③，

∴∠EAD=∠DBC，

∵∠DBC+∠DAC=180°，

∴∠EAD+∠DAC=180°，

∴E、A、C三點共線，

∵AB=13，BC=12，

∴由勾股定理可求得：AC=5，

∵BC=AE，

∴CE=AE+AC=17，

∵∠EDA=∠CDB，

∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，

即∠EDC=∠ADB=90°，

∵CD=ED，

∴△EDC是等腰直角三角形，

∴CE=CD，

∴CD= ；

（3）當點E在直線AC的左側時，如圖④，

連接CQ，PC，

∵AC=BC，∠ACB=90°，點P是AB的中點，

∴AP=CP，∠APC=90°，

又∵CA=CE，點Q是AE的中點，

∴∠CQA=90°，

設AC=a，

∵AE= AC，

∴AE= a，

∴AQ= AE= ，

由勾股定理可求得：CQ= a，

由（2）的證明過程可知：AQ+CQ= PQ，

∴ PQ= a+ a，

∴ PQ= AC或；

∴當點E在直線AC的左側時，線段PQ與AC的數量關系是 PQ= AC或．