Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在的正半軸上，點B的坐標為(3,4)一次函數的圖象與邊OC、AB分別交于點D、E，并且滿足OD= BE.點M是線段DE上的一個動點.

(1)求b的值；

(2)連結OM，若三角形ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1：3，求點M的坐標；

(3)設點N是軸上方平面內的一點，以O、D、M、N為頂點的四邊形是菱形，求點N的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）M(1, )；

（3）當四邊形OMDN是菱形時，M(,)N(,)

【解析】分析：（1）首先在一次函數的解析式中令x=0，即可求得D的坐標，則OD的長度即可求得，OD=b，則E的坐標即可利用b表示出來，然后代入一次函數解析式即可得到關于b的方程，求得b的值；（2）首先求得四邊形OAED的面積，則△ODM的面積即可求得，設出M的橫坐標，根據三角形的面積公式即可求得M的橫坐標，進而求得M的坐標；（3）分成四邊形OMDN是菱形和四邊形OMND是菱形兩種情況進行討論，四邊形OMDN是菱形時，M是OD的中垂線與DE的交點，M關于OD的對稱點就是N；四邊形OMND是菱形，OM=OD，M在直角DE上，設出M的坐標，根據OM=OD即可求得M的坐標，則根據ON和DM的中點重合，即可求得N的坐標．

本題解析：(1)y= x+b中,令x=0,解得y=b,則D的坐標是(0,b)，OD=b，

∵OD=BE，

∴BE=b,則E的坐標是(3,4b)，

把E的坐標代入y=x+b得4b=2+b，

解得：b=3；

(2) ，

∵三角形ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1:3，

∴ .

設M的橫坐標是a,則 ×3a=1.5，解得：a=1,

把x=a=1代入y=x+3得y=×+3= .

則M的坐標是(1, )；

(3)當四邊形OMDN是菱形時,如圖(1),M的縱坐標是 ,把y=代入y=x+3,得x+3=,解得：x=，

則M的坐標是(,)，

則N的坐標是(,)；

當四邊形OMND是菱形時,如圖(2)OM=OD=3,設M的橫坐標是m,則縱坐標是m+3，則，

解得：m=或0(舍去).

則M的坐標是(,).

則DM的中點是(,).

則N的坐標是(,).

故N的坐標是(,)或(,).