Question

【題目】已知：直線與x軸、y軸分別相交于點A和點B，點C在線段AO上.將沿BC折疊后，點O恰好落在AB邊上點D處．

（1）求出OC的長？

（2）點E、F是直線BC上的兩點，若是以EF為斜邊的等腰直角三角形，求點F的坐標；

（3）取AB的中點M，若點P在y軸上，點Q在直線AB上，是否存在以C、M、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）OC的長為3；（2）或；（3）或或．

【解析】

（1）先根據一次函數的解析式可得點A、B坐標，從而可得OA、OB、AB的長，再根據折疊的性質可得，然后在中，利用勾股定理即可得；

（2）如圖，先由（1）得出點C坐標，再利用待定系數法可求出直線BC的函數解析式，從而可得出直線AG的函數解析式，然后聯立直線BC、AG的函數解析式可求出點G的坐標，從而可得AG的長，最后根據等腰直角三角形的性質可得，由此建立方程求解即可得；

（3）先求出點M坐標，再利用待定系數法可求出直線CM的函數解析式，設點Q的坐標為，然后分MQ為所構成的平行四邊形的邊和MQ為所構成的平行四邊形的對角線兩種情況，分別根據平行四邊形的性質、兩點之間的距離公式列出等式求解即可．

（1）對于

當時，，解得，則點A坐標為

當時，，則點B坐標為

由折疊的性質得：

，

設，則

在中，，即

解得

故OC的長為3；

（2）由（1）可得：點C坐標為

設直線BC的解析式為

將點，代入得：，解得

則直線BC的解析式為

如圖，過點A作直線BC的垂線，交直線BC于點G

則可設直線AG的解析式為

將點代入得：，解得

則直線AG的解析式為

聯立，解得

即點G坐標為

由兩點之間的距離公式得：

點E、F是直線BC上的兩點，且是以EF為斜邊的等腰直角三角形

設點F的坐標為

則有

整理得：

解得或

當時，

當時，

則點F的坐標為或；

（3）由題意得：點M坐標為，即

設直線CM的函數解析式為

將點、代入得：，解得

則直線CM的函數解析式為

因為點Q在直線AB：上

所以可設點Q的坐標為

由平行四邊形的定義，分以下兩種情況：

①MQ為所構成的平行四邊形的邊，則

設直線CP的函數解析式為

將點代入得：，解得

則直線CP的函數解析式為

當時，，則此時點P坐標為

由兩點之間的距離公式得：

則

解得或

當時，

當時，

因此，此時點Q的坐標為或

②MQ為所構成的平行四邊形的對角線，則

設直線PQ的函數解析式為

將點代入得：，解得

則直線PQ的函數解析式為

當時，，則此時點P坐標為

由兩點之間的距離公式得：

解得或

當時，

此時點Q的坐標為，點P的坐標為，則MQ不是所構成的平行四邊形的對角線，不符題設，舍去

當時，

因此，此時點Q的坐標為

綜上，所求的點Q的坐標為或或．