Question

【題目】在圓O中，C是弦AB上的一點，聯結OC并延長，交劣弧AB于點D，聯結AO、BO、

AD、BD．已知圓O的半徑長為5，弦AB的長為8．

（1）如圖1，當點D是弧AB的中點時，求CD的長；

（2）如圖2，設AC=x，=y，求y關于x的函數解析式并寫出定義域；

（3）若四邊形AOBD是梯形，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）y=（0＜x＜8）;（3）AD=或6．

【解析】

(1)根據垂徑定理和勾股定理可求出OC的長.

(2)分別作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代數式表示△ACO和△BOD的面積，便可得出函數解析式.

(3)分OB∥AD和OA∥BD兩種情況討論.

解：（1）∵OD過圓心，點D是弧AB的中點，AB=8，

∴OD⊥AB，AC=AB=4，

在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，

∴CO==3，

∴OD=5，

∴CD=OD﹣OC=2；

（2）如圖2，過點O作OH⊥AB，垂足為點H，

則由（1）可得AH=4，OH=3，

∵AC=x，

∴CH=|x﹣4|，

在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，

∴CO===，

∴CD=OD﹣OC=5﹣，

過點DG⊥AB于G，

∵OH⊥AB，

∴DG∥OH，

∴△OCH∽△DCG，

∴，

∴DG==，

∴S△ACO=AC×OH=x×3=x，

S△BOD=BC（OH+DG）=（8﹣x）×（3+）=（8﹣x）×

∴y===（0＜x＜8）

（3）①當OB∥AD時，如圖3，

過點A作AE⊥OB交BO延長線于點E，過點O作OF⊥AD，垂足為點F，

則OF=AE，

∴S=ABOH=OBAE，

AE===OF，

在Rt△AOF中，∠AFO=90°，AO=5，

∴AF==

∵OF過圓心，OF⊥AD，

∴AD=2AF=．

②當OA∥BD時，如圖4，過點B作BM⊥OA交AO延長線于點M，過點D作DG⊥AO，垂足為點G，

則由①的方法可得DG=BM=，

在Rt△GOD中，∠DGO=90°，DO=5，

∴GO==，AG=AO﹣GO=，

在Rt△GAD中，∠DGA=90°，

∴AD==6

綜上得AD=或6．

故答案為：（1）2；（2）y=（0＜x＜8）;（3）AD=或6．