Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，E為⊙O上一點，∠EAB的平分線AC交⊙O于C點，過C點作CD⊥AE的延長線于D點，直線CD與射線AB交于P點．

（1）求證：DC為⊙O切線；

（2）若DC=1，AC=，①求⊙O半徑長；②求PB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O半徑長為；

【解析】

試題分析：（1）連結OC，如圖，由AC平分∠EAB得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，則∠1=∠3，于是可判斷OC∥AD，由于CD⊥AD，所以OC⊥CD，則根據切線的判定定理得到DC為⊙O切線；

（2）①連結BC，如圖，在Rt△ACD中利用勾股定理計算出AD=2，再Rt△ACD∽Rt△ABC，利用相似比計算出AB=，從而得到⊙O半徑長為；

②證明△EOC∽△EAD，然后利用相似比可計算出BE的長．

（1）證明：連結OC，如圖，

∵AC平分∠EAB，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴OC∥AD，

∵CD⊥AD，

∴OC⊥CD，

∴DC為⊙O切線；

（2）解：①連結BC，如圖，

在Rt△ACD中，∵CD=1，AC=，

∴AD==2，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠1=∠2，

∴Rt△ACD∽Rt△ABC，

∴AC：AB=AD：AC，即：AB=2：，

∴AB=，

∴⊙O半徑長為；

②∵OC∥AD，

∴△EOC∽△EAD，

∴=，即=，

∴BE=．