Question

30、正方形ABCD中對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，F是OB上一點，且OE=OF，回答下列問題：

（1）在圖中1，可以通過平移、旋轉、翻折中的哪一種方法，使△OAF變到△OBE的位置．請說出其變化過程．
（2）指出圖（1）中AF和BE之間的關系，并證明你的結論．
（3）若點E、F分別運動到OB、OC的延長線上，且OE=OF（如圖2），則（2）中的結論仍然成立嗎？若成立，請證明你的結論；若不成立，請說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根據圖形特點即可得到答案；
（2）延長AF交BE于M，根據正方形性質求出AB=BC，∠AOB=∠BOC，證△AOF≌△BOE，推出AF=BE，∠FAO=∠EBO，根據三角形內角和定理證出即可；
（3）延長EB交AF于N，根據正方形性質推出∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，得到∠ABF=∠BCE，同法可證△ABF≌△BCE，推出AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，得到∠E+∠FAB+∠BAO=90°即可．

解答：解：（1）旋轉，以點O為旋轉中心，逆時針旋轉90度．

（2）圖（1）中AF和BE之間的關系：AF=BE；AF⊥BE．
證明：延長AF交BE于M，
∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OB，
∴∠AOB=∠BOC=90°，
∵OE=OF，
∴△AOF≌△BOE，
∴AF=BE，∠FAO=∠EBO，
∵∠EBO+∠OEB=90°，
∴∠FAO+∠OEB=90°，
∴∠AME=90°，
∴AF⊥BE，
即AF=BE，AF⊥BE．

（3）成立；
證明：延長EB交AF于N，
∵正方形ABCD，
∴∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，
∵∠ABF+∠ABD=180°，∠BCE+∠ACB=180°，
∴∠ABF=∠BCE，
∵AB=BC，BF=CE，
∴△ABF≌△BCE，
∴AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，
∵∠F+∠FAB=∠ABD=45°，
∴∠E+∠FAB=45°，
∴∠E+∠FAB+∠BAO=45°+45°=90°，
∴∠ANE=180°-90°=90°，
∴AF⊥BE，
即AF=BE，AF⊥BE．

點評：本題主要考查對正方形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，旋轉的性質等知識點的連接和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．