Question

【題目】如圖①，點P為∠MON的平分線上一點，以P點為頂點的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點，如果∠APB繞點P旋轉時始終滿足OA·OB＝OP2，我們就把∠APB叫作∠MON的智慧角．

(1)如圖②，已知∠MON＝90°，點P為∠MON的平分線上一點，以點P為頂點的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點，且∠APB＝135°，求證：∠APB是∠MON的智慧角；

(2)如圖①，已知∠MON＝α(0°＜α＜90°)，OP＝2，若∠APB是∠MON的智慧角，連接AB，用含α的式子分別表示∠APB的度數和△AOB的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠APB＝180°－,S△AOB＝2sinα..

【解析】試題分析：

(1) 在△OAP中利用三角形內角和可以求得∠OAP+∠APO為135°，再根據已知條件容易得到∠OAP=∠OPB. 由“兩組內角對應相等”不難證明△AOP∽△POB. 利用相似三角形的性質可以證明OA·OB=OP2. 由于上述證明過程中所用到的幾何關系不隨旋轉而改變，所以可以證明本小題的結論.

(2) 利用已知條件不難通過“兩組對應邊的比相等且夾角相等”證明△AOP∽△POB. 通過∠OAP=∠OPB可以將∠APB轉化為△OAP的兩個內角之和，從而利用三角形內角和獲得∠APB與α的關系. 至于△AOB的面積，可以作出OB邊上的高，利用銳角三角函數將這條高的長度用含有OA和α的式子表示出來. 通過三角形面積公式和OA·OB=OP2的關系可以得到△AOB的面積與α的關系.

試題解析：

(1) 證明：∵∠MON=90°，點P為∠MON平分線上的一點，

∴，

∵在△OAP中，∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，

∴∠OAP+∠APO=180°-∠AOP=180°-45°=135°.

∵∠APB=135°，

∴∠APO+∠OPB=135°，

∴∠OAP=∠OPB，

∵∠OAP=∠OPB，∠AOP=∠POB=45°，

∴△AOP∽△POB，

∴，

∴OP2=OA·OB，

∴∠APB是∠MON的智慧角.

(2) 下面求解∠APB的度數.

∵∠APB是∠MON的智慧角，

∴OA·OB=OP2，

∴，

∵點P為∠MON平分線上的一點，∠MON=α (0°<α<90°)，

∴.

∵，∠AOP=∠POB，

∴△AOP∽△POB，

∴∠OAP=∠OPB，

∵在△OAP中，∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，

∴∠OAP+∠APO=180°-∠AOP=，

∵∠APB=∠OPB+∠APO=∠OAP+∠APO，

∴.

下面求解△AOB的面積.

如圖，過點A作AH⊥OB，垂足為H. (以下用符號S△AOB代指△AOB的面積)

∵∠MON=α (0°<α<90°)，即∠AOH=α，

∴在Rt△OHA中，，

∴，

∵∠APB是∠MON的智慧角，

∴OA·OB=OP2，

∴，

∵OP=2，

∴，即△AOB的面積為.