Question

某市種植某種綠色蔬菜，全部用來出口．為了擴大出口規模，該市決定對這種蔬菜的種植實行政府補貼，規定每種植一畝這種蔬菜一次性補貼菜農若干元．經調查，種植畝數y（畝）與補貼數額x（元）之間大致滿足如圖1所示的一次函數關系．隨著補貼數額的不斷增大，出口量也不斷增加，但每畝蔬菜的收益z（元）會相應降低，且z與x之間也大致滿足z=-3x+3000
（1）求出政府補貼政策實施后，種植畝數y與政府補貼數額x 之間的函數關系式；
（2）在政府未出臺補貼措施前，該市種植這種蔬菜的總收益額為多少？
（3）要使全市這種蔬菜的總收益W（元）最大，政府應將每畝補貼數額X定為多少？并求出總收益W的最大值．
（4）該市希望這種蔬菜的總收益不低于7200 000元，請你在坐標系中畫出3種的函數圖象的草圖，利用函數圖象幫助該市確定每畝補貼數額的范圍，在此條件下要使總收益最大，說明每畝補貼數額應定為多少元合適？

Answer 1

分析：（1）設種植畝數y與政府補貼數額x 之間的函數關系式是y=kx+b，把（0，800）和（50，1 200）代入即可求出解析式；
（2）當x=0時，z=3 000，計算3 000×800即可得到答案；
（3）w=yz=-24（x-450）²+7260 000，根據二次函數的性質即可求出答案；
（4）列出方程-24（x-450）²+7260 000=7 200 000，求出方程的解，結合圖象即可求出答案．

解答：（1）解：設種植畝數y與政府補貼數額x 之間的函數關系式是y=kx+b，
由圖象可知：過（0，800），（50，1200），代入得：

800=b 1200=50k+b

，
解得：k=8，b=800，
∴y=8x+800．
答：政府補貼政策實施后，種植畝數y與政府補貼數額x 之間的函數關系式是y=8x+800．

（2）解：z=-3x+3 000，
當x=0時，z=3 000，
總收益：3 000×800=2 400 000元．
答：在政府未出臺補貼措施前，該市種植這種蔬菜的總收益額為2 400 000元．

（3）解：w=yz，
=（8x+800）（-3x+3 000），
=-24（x-450）²+7 260 000，
∵a=-24＜0，
∴開口向下，有最大值，
∴當x定為450元時，總收益最大值為7260 000元．
答：要使全市這種蔬菜的總收益W（元）最大，政府應將每畝補貼數額x定為450元，總收益W的最大值是7 260 000元．

（4）-24（x-450）²+7260 000=7 200 000，
∴x₁=400，x₂=500．
因此，定為400元到500元．
答：每畝補貼數額應定為400元到500元最合適．

點評：本題主要考查了二次函數的應用，二次函數的性質，用待定系數法求一次函數的解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，用直接開平方法解一元二次方程等知識點，解此題的關鍵是綜合運用性質進行計算．此題是一個拔高的題目，有一定的難度，綜合性強．