Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AB上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B不重合），矩形PECF的頂點(diǎn)E，F分別在BC，AC上．

（1）探究DE與DF的關(guān)系，并給出證明；

（2）當(dāng)點(diǎn)P滿足什么條件時(shí)，線段EF的長最短？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）DE=DF，DE⊥DF，證明見解析；（2）點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，線段EF最短，證明見解析

【解析】

（1）連接CD，首先根據(jù)△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)得到CD=AD，CD⊥AD，然后根據(jù)四邊形PECF是矩形得到△APF是等腰直角三角形，從而得到△DCE≌△DAF，證得DE=DF，DE⊥DF；
（2）根據(jù)DE=DF，DE⊥DF，得到EF=DE=DF，從而得到當(dāng)DE和DF同時(shí)最短時(shí)，EF最短得到此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合線段EF最短．

（1）DE=DF，DE⊥DF，

證明：連接CD，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴CD=AD，CD⊥AD，∠DCE=45°，

∴∠CDA=90°，

∵四邊形PECF是矩形，

∴CE=FP，FP∥CB，

∴△APF是等腰直角三角形，

∴AF=PF=EC，

∴∠A=∠DCE=45°，

∴△DCE≌△DAF（SAS），

∴DE=DF，∠ADF=∠CDE，

∵∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠ADF=90°，

∴DE⊥DF；

（2）∵DE=DF，DE⊥DF，

∴EF=DE=DF，

∴當(dāng)DE和DF同時(shí)最短時(shí)，EF最短，

∴當(dāng)DF⊥AC，DE⊥AB時(shí)，二者最短，

∴此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，

∴點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，線段EF最短．