Question

已知：如圖，弓形AmB小于半圓，它所在圓的圓心為O，半徑為13，弦AB的長為24；C是弦AB上的一動點（異于A、B），過C作AB的垂線交弧AB于點P，以PC為直徑的圓交AP于點D；E是AP的中點，連接OE．
（1）當點D、E不重合時（如圖1），求證：OE∥CD；
（2）當點C是弦AB的中點時（如圖2），求PD的長；
（3）當點D、E重合時，請你推斷∠PAB的大小為多少度（只需寫出結論，不必給出證明）

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理求出∠CDP=90°，根據垂徑定理求出OE⊥AP，即可推出答案；
（2）根據垂徑定理求出OC⊥AB，根據勾股定理求出OC、AP，由切割線定理求出AD，計算AP-AD即可；
（3）根據直角三角形的性質和等腰三角形的性質即可求出∠PAB．

解答：
（1）證明：∵CP是直徑，
∴∠CDP=90°，
∵OE過圓心O，AE=PE，
∴OE⊥AP，
∴OE∥CD．

（2）解：連接OC、AO，
∵AC=BC，
∴OC⊥AB，
∵PC⊥AB，
∴P、C、O三點共線，
由勾股定理得：OC=

OA2-AC2

=5，
∴PC=13-5=8，
由勾股定理得：AP=

AC2+PC2

=4

13

，
由切割線定理得：AC²=AD•AP，
∴AD=

36 13

13

，
PD=AP-AD=

16 13

13

，
答：PD的長是

16 13

13

．

（3）答：∠PAB=45°．

點評：本題主要考查對圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，直角三角形的性質，等腰三角形的性質等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．