Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx2-8mx+16m-1（m＞0）與x軸的交點分別為A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）．
（1）求證：拋物線總與x軸有兩個不同的交點；
（2）若AB=2，求此拋物線的解析式．
（3）已知x軸上兩點C（2，0），D（5，0），若拋物線y=mx2-8mx+16m-1（m＞0）與線段CD有交點，請寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：△=64m2-4m（16m-1）

=4m，

∵m＞0，

∴△＞0，

∴拋物線總與x軸有兩個不同的交點

（2）解：根據題意，x1、x2為方程mx2-8mx+16m-1=0的兩根，

∴x1+x2=- =8，x1x2= ，

∵|x1-x2|=2，

∴（x1+x2）2-4x1x2=4，

∴82-4 =4，

∴m=1，

∴拋物線的解析式為y=x2-8x+15

（3）解：拋物線的對稱軸為直線x=- =4，

∵拋物線開口向上，

∴當x=2，y≥0時，拋物線與線段CD有交點，

∴4m-16m+16m-1≥0，

∴m≥

【解析】(1)證拋物線與x軸交點個數可轉化為計算判別式，判斷判別式的正負來判定交點個數；（2）AB可轉化為兩根之差，再利用根與系數關系求解；（3）要使拋物線與線段CD有交點，需x=2，y≥0，構建不等式4m-16m+16m-1≥0，可求出范圍.