Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點A，C（點A在點C的左側），A（-1，0），C（4，0），連接AB，BC，點為y軸負半軸上的一點，連接AG并延長交拋物線于點E，點D為線段AE上的一個動點，過點D作y軸的平行線交拋物線于點F，與線段BC交于點N．

（1）求拋物線的表達式及直線BC的表達式；

（2）在點D運動的過程中，當FN的值最大時，在線段BC上是否存在一點H，使得FNH與ABC相似，如果存在，求出此時H點的坐標；

（3）當DF=4時，連接DC，四邊形ABCD先向上平移一定單位長度后，使點D落在x軸上，然后沿x軸向左平移n（1n4）個單位長度，用含n的表達式表示平移后的四邊形與原四邊形重疊部分的面積S（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）直線的解析式為，拋物線的解析式為；（2）存在，點的坐標為；（3）．

【解析】

（1）將點A（-1，0），C（4，0）代入得出方程組，再解方程組求出a，b即可；根據B、C兩點坐標利用待定系數法求出直線BC的解析式即可；

（2）如圖2中，設，則，構建二次函數求出FN最大時，點F的坐標，證明是直角三角形，觀察圖象可知，只有時，，求出直線FH的解析式，利用方程組即可求出點H的坐標；

（3）根據，列出方程，求出m的值，分兩種情形分別求解即可．

解：（1）把，代入

得到，

解得，

∴拋物線的解析式為，

∵，，

設直線的解析式為，

則有，

解得，

∴直線的解析式為．

（2）如圖1中，設，則，

∴，

∵，

∴時，的值最大，此時，

∵，，，

∴，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，，

∴，

∵與相似，

觀察圖象可知，只有時， ，

設直線的解析式為，

把代入得，

∴直線的解析式為，

由，解得，

∴點的坐標為．

（3）∵，，

∴直線的解析式為，，

∵，

∴，

解得或3．

①當時，如圖2中，時，重疊部分是四邊形，

；

如圖3中，時，重疊部分是，

．

②當時，如圖4中，時，重疊部分是矩形．

．