Question

【題目】在平面直角坐標系xOy，對于點P（xp，yp）和圖形G，設Q（xQ，yQ）是圖形G上任意一點，|xp﹣xQ|的最小值叫點P和圖形G的“水平距離”，|yp﹣yQ|的最小值叫點P和圖形G的“豎直距離”，點P和圖形G的“水平距離”與“豎直距離”的最大值叫做點P和圖形G的“絕對距離”

例如：點P（﹣2，3）和半徑為1的⊙O，因為⊙O上任一點Q（xQ，yQ）滿足﹣1≤xQ≤1，﹣1≤yQ≤1，點P和⊙O的“水平距離”為|﹣2﹣xQ|的最小值，即|﹣2﹣（﹣1）|=1，點P和⊙O的“豎直距離”為|3﹣yQ|的最小值即|3﹣1|=2，因為2＞1，所以點P和⊙O的“絕對距離”為2．

已知⊙O半徑為1，A（2，），B（4，1），C（4，3）

（1）①直接寫出點A和⊙O的“絕對距離”

②已知D是△ABC邊上一個動點，當點D與⊙O的“絕對距離”為2時，寫出一個滿足條件的點D的坐標；

（2）已知E是△ABC邊一個動點，直接寫出點E與⊙O的“絕對距離”的最小值及相應的點E的坐標

（3）已知P是⊙O上一個動點，△ABC沿直線AB平移過程中，直接寫出點P與△ABC的“絕對距離”的最小值及相應的點P和點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）①1.5；②D的坐標為（3，）或（3，）；（2）E坐標為（，）；（3）C（，），P（，）．點P與△ABC的“絕對距離”的最小值為．

【解析】

（1）①點A和⊙O的“絕對距離”的定義求出點A和⊙O的“豎直距離”與“水平距離”即可解決問題．
②當點D與⊙O的“絕對距離”為2時，點D的橫坐標為3，求出直線AB，AC的解析式即可解決問題．
（2）由題意可知滿足條件的點E在直線y=x與直線AB的交點處．構建方程組即可解決問題．
（3）如圖3中，過點A作x軸的垂線，過點B作y軸的垂線交于點F，當點F在直線y=x上時，點P與△ABC的“絕對距離”的有最小值，此時點P即為直線y=x與⊙O的交點（如圖所示）．設F（m，m）則B（m+2，m），利用待定系數法求出點F的坐標即可解決問題．

（1）如圖1中，

①∵點A和⊙O的“水平距離”是1，點A和⊙O的“豎直距離”是1．5，

又∵1．5＞1，∴點A和⊙O的“絕對距離”是1．5．

②當點D與⊙O的“絕對距離”為2時，點D的橫坐標為3．

∵A（2，），B（4，1），C（4，3），

∴直線AB速度解析式為yx+4，直線AC的解析式為yx+2，

∴D（3，），D'（3，），

綜上所述：滿足條件的點D的坐標為（3，）或（3，）．

（2）如圖2中，

由題意可知滿足條件的點E在直線y=x與直線AB的交點處．

由，解得，

∴滿足條件的點E坐標為（，）．

（3）如圖3中，過點A作x軸的垂線，過點B作y軸的垂線交于點F，當點F在直線y=x上時，點P與△ABC的“絕對距離”的有最小值，此時點P即為直線y=x與⊙O的交點（如圖所示）．

設F（m，m）則B（m+2，m）．

∵點B在直線yx+4上，

∴m（m+2）+4，

解得：m，

∴F（，），B（，）．

∵BC∥y軸，BC=2，

∴C（，），此時P（，）．

∴點P與△ABC的“絕對距離”的最小值為．