Question

【題目】如圖，C為線段AB上一點，分別以AC，BC為邊在AB的同側作等邊△HAC與等邊△DCB，連接DH.

（1）如圖1，當∠DHC=90°時，求的值；

（2）在（1）的條件下，作點C關于直線DH的對稱點E，連接AE，BE.求證：CE平分∠AEB.

（3）現將圖1中的△DCB繞點C順時針旋轉一定角度α（0°<α<90°），如圖2，點C關于直線DH的對稱點為E，則（2）中的結論是否還成立，并證明.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）由已知易得∠DCH=60°，結合∠DHC=90°，可得∠CDH=30°，從而可得CD=2CH，結合AC=CH，BC=CD，即可得到的比值；

（2）如圖1，由點C和點E關于DH對稱，易得EH=CH=AH，點E、H、C三點共線，從而可得∠AEC=∠EAH=∠AHC=30°；由（1）可得BC=2CH=EC，從而可得∠BEC=∠EBC∠ACE=30°；這樣可得∠AEC=∠BEC，即可得到EC平分∠AEB的結論；

（3）如圖2，由點C和點E關于DH對稱，易得EH=CH=AH，由此可得點A、E、C三點都在以H為圓心，AH為半徑的圓上，則由圓周角定理可得∠AEC=∠AHC=30°；同理，由點C和點E關于DH對稱，可得DE=DC=DB，由此可得點E、C、B都在以D為圓心，DC為半徑的圓上，由此可得∠BEC=∠BDC=30°，即可得到∠AEC=∠BEC，即可得到EC平分∠AEB的結論.

試題解析：

（1）∵△HAC與△DCB都是等邊三角形，

∴∠ACH=∠DCB=60°，AC=HC，BC=CD，

∴∠HCD=180°﹣∠ACH﹣∠DCB=60°，

∵∠DHC=90°，

∴∠HDC=180°﹣∠DHC﹣∠HCD=30°，

∴CD=2CH，

∴BC=2AC，

∴=2；

（2）如圖1，由點C和點E關于DH對稱可得：∠EHD=∠DHC=90°，EH=HC，

∴E、H、C三點共線，

∵AH=HC，

∴EH=AH，

∴∠AEC=∠EAH=∠AHC=30°，

由（1）可得BC=2CH=EC，

∴∠BEC=∠ACE=30°，

∴∠AEC=∠BEC，即CE平分∠AEB；

（3）結論仍然正確，理由如下：

如圖2，由對稱性可知：HC=HE，

又∵AH=HC，

∴HC=HA=HE，

∵A，C，E都在以H為圓心，HA為半徑的圓上，

∴∠AEC=∠AHC=30°，

同理可得，∠BEC=∠BDC=30°，

∴∠AEC=∠BEC，

∴EC平分∠AEB．