Question

【題目】閱讀下列一段文字，然后回答下列問題．

已知在平面內兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其兩點間的距離．例如P1（2，-4）、P2（7，8），其兩點間的距離，同時，當兩點所在的直線再坐標軸或平行于坐標軸或垂直于坐標軸時，兩點間距離公式可化簡為|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．

（1）已知A（2，4）、B（-3，-8），試求A、B兩點間的距離____．

（2）已知M、N在平行于y軸的直線上，點M的縱坐標為4，點N的縱坐標為-1，試求M、N 兩點的距離為 ．

（3）已知一個三角形各頂點坐標為D（1，6）、E(-2，2)、F（4，2），你能判定此三角形的形狀嗎？說明理由．

（4）在（3）的條件下，平面直角坐標中，在x軸上找一點P，使PD+PF的長度最短，求出點P的坐標及PD+PF的最短長度．

Answer 1

【答案】（1）13；（2）5；（3）△DEF為等腰三角形；（2）圖詳見解析，P（，0），PD+PF最短為.

【解析】

（1）根據閱讀材料中的A與B的坐標，利用兩點間的距離公式求出A與B的距離即可；

（2）根據兩點在平行于y軸的直線上，由M與N的縱坐標求出MN的距離即可；

（3）由三頂點坐標求出DE，DF，EF的長，即可判定此三角形形狀；

（4）找出F關于x軸的對稱點F′，連接DF′，與x軸交于P點，此時PD+PF最短，設直線DF′的解析式為y=kx+b，將D與F′的坐標代入求出k與b的值，確定出直線DF′解析式，令y=0求出x的值，確定出P坐標，由D與F′坐標，利用兩點間的距離公式求出DF′的長，即為PD+PF的最短長度．

（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），∴AB13；

（2）∵M、N在平行于y軸的直線上，點M的縱坐標為4，點N的縱坐標為﹣1，∴MN=|4﹣（﹣1）|=5；

（3）△DEF為等腰三角形，理由為：

∵D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），∴DE5，DF5，EF6，即DE=DF，則△DEF為等腰三角形；

（4）作F關于x軸的對稱點F′，連接DF′，與x軸交于點P，此時DP+PF最短，設直線DF′解析式為y=kx+b，將D（1，6），F′（4，﹣2）代入得：，解得：，∴直線DF′解析式為y，令y=0，得：x，即P（，0）．

∵PF=PF′，∴PD+PF=DP+PF′=DF′，則PD+PF的長度最短時點P的坐標為（，0），此時PD+PF的最短長度為．