Question

【題目】如圖，兩個形狀、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如圖①放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可繞點P逆時針旋轉．

（1）直接寫出∠DPC的度數．

（2）如圖②，在圖①基礎上，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉，轉速為5°/秒，同時三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉，轉速為1°/秒，（當PA轉到與PM重合時，兩三角板都停止轉動），在旋轉過程中，當PC與PB重合時，求旋轉的時間是多少？

（3）在（2）的條件下，PC、PB、PD三條射線中，當其中一條射線平分另兩條射線的夾角時，請直接寫出旋轉的時間．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）旋轉的時間是30秒時PC與PB重合；（3）15秒或26.25秒或37.5秒時其中一條射線平分另兩條射線的夾角．

【解析】

（1）易得∠DPC=180°-∠APC-∠BPD即可求

（2）只需設旋轉的時間是t秒時PC與PB重合，列方程解可得

（3）一條射線平分另兩條射線的夾角，分三種情況：當PD平分∠BPC時；當PC平分∠BPC時；當PB平分∠DPC時，計算每種情況對應的時間即可．

解：

（1）∠DPC=180°-∠APC-∠BPD=180°-60°-30°=90°

故答案為：90°

（2）設旋轉的時間是t秒時PC與PB重合，根據題意列方程得

5t-t=30+90

解得t=30

又∵180÷5=36秒

∴30＜36

故旋轉的時間是30秒時PC與PB重合．

（3）設t秒時其中一條射線平分另兩條射線的夾角，分三種情況：

①當PD平分∠BPC時，5t-t=90-30，解得t=15

②當PC平分∠BPC時，，解得t=26.25

③當PB平分∠DPC時，5t-t=90-2×30，解得t=37.5

故15秒或26.25秒或37.5秒時其中一條射線平分另兩條射線的夾角．