Question

【題目】如圖，一次函數y=kx+b的圖象分別與x軸，y軸的正半軸分別交于點A，B，AB=2，∠OAB=45°

（1）求一次函數的解析式；

（2）如果在第二象限內有一點C(a，)；試用含有a的代數式表示四邊形ABCO的面積，并求出當△ABC的面積與△ABO的面積相等時a的值；

（3）在x軸上，是否存在點P，使△PAB為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）一次函數解析式為y= -x+2 （2）a＝ （3）存在，滿足條件的點P的坐標為（0，0）或（22，0）或（2+2，0）或（-2，0）．

【解析】

（1）根據勾股定理求出A、B兩點坐標，利用待定系數法即可解決問題；
（2）根據S四邊形ABCD=S△AOB+S△BOC計算即可，列出方程即可求出a的值；
（3）分三種情形討論即可解決問題；

（1）在Rt△ABO中，∠OAB=45°，
∴∠OBA=∠OAB-∠OAB=90°-45°=45°
∴∠OBA=∠OAB
∴OA=OB
∴OB2+OA2=AB2即：2OB2=（2）2，
∴OB=OA=2
∴點A（2，0），B（0，2）．
∴

解得：

∴一次函數解析式為y= -x+2．
（2）如圖，
∵S△AOB=×2×2=2，S△BOC=×2×|a|= -a，
∴S四邊形ABCD=S△AOB+S△BOC=2-a，
∵S△ABC=S四邊形ABCO-S△AOC=2-a-×2×=-a，
當△ABC的面積與△ABO面積相等時，a＝2，解得a＝．

（3）在x軸上，存在點P，使△PAB為等腰三角形
①當PA=PB時，P（0，0），
②當BP=BA時，P（-2，0），
③當AB=AP時，P（2-2，0）或（2+2，0），
綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（0，0）或（22，0）或（2+2，0）或（-2，0）．