Question

【題目】在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2），延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C；延長C1B1交x軸于點A2，作正方形A2B2C2C1…按這樣的規律進行下去，第1個正方形的面積為___；第4個正方形的面積為___．

Answer 1

【答案】5

【解析】

由點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．即可求得OA與OD的長，然后由勾股定理即可求得AD的長，繼而求得第1個正方形ABCD的面積；先證得△DOA∽△ABA1，然后由相似三角形的對應邊成比例，可求得A1B的長，即可求得A1C的長，即可得第2個正方形A1B1C1C的面積；以此類推，可得第3個、第4個正方形的面積．

∵點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．

∴OA=1，OD=2，

在Rt△AOD中，AD==，

∴正方形ABCD的面積為：；

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，

∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BA A1=90°，

∴∠ADO=∠BA A1，

∵∠DOA=∠AB A1，

∴△DOA∽△AB A1，

∴=，即=，

解得：A1B=，

∴A1C= A1B+BC=，

∴正方形A1B1C1C的面積為： ；

∵第1個正方形ABCD的面積為：5；

第2個正方形A1 B1 C1C的面積為：=×5；

同理可得：第3個正方形A2 B2 C2 C1的面積為：××5=；

∴第4個正方形A3 B3 C3C2的面積為：．

故答案為：5，