Question

【題目】已知拋物線與x軸交于A、B兩點點A在點B的左側．

當時，拋物線與y軸交于點C．

直接寫出點A、B、C的坐標；

如圖1，連接AC，在x軸上方的拋物線上有一點D，若，求點D的坐標；

如圖2，點P為拋物線位于第一象限圖象上一動點，過P作，求PQ的最大值；

如圖3，若點M為拋物線位于x軸上方圖象上一動點，過點M作軸，垂足為N，直線MN上有一點H，滿足與互余，試判斷HN的長是否變化，若變化，請說明理由，若不變，請求出HN長．

Answer 1

【答案】（1）①A（-1，0），B（3，0），C（0，3）②D點坐標為（，）③PQ最大為（2）NH=1為定值，故不變.

【解析】

（1）①將m帶入拋物線解析式解得與x,y軸的交點.

②設OC交BD于點E，過D點作x軸垂線交x軸F點, 利用△EOB∽△DFB，求得D點的縱坐標，在代入AC的直線方程即可.

③求PQ的最大值，即求△BCP面積的最大值,列出其面積最大值的二次函數配方式計算.

（2）運用△MAN∽△BHN，得到NH的值即可.

（1）當m=2時，為，當x=0時，y=3

當y=0時，x=-1或x=3.

綜上，A（-1，0），B（3，0），C（0，3）

②

設OC交BD于點E，過D點作x軸垂線交x軸F點.

由①知，AB=4，OC=3

∴AC=，BD=

∵，OB=OC，∠AOC=∠EOB

∴△AOC≌△EOB（ASA）

∴OE=1

∵△EOB∽△DFB

∴

DF=，即D點坐標為

帶入直線AC中得D點橫坐標為.

故D點坐標為（，）

③

求PQ的最大值，即求△BCP面積的最大值，過P點作PL∥y軸，交BC于點L

設P點坐標為（x，），則L為（x，-x+3）

則S△BCP=·PL·3=·()= -·

∴當x=時，S△BCP最大為.

此時PQ最大為.

（2）設N點為x，則AN=1+x，BN=3-x，MN=

∵與互余，∠MNA=∠BNH=90°

∴△MAN∽△BHN

∴,即

∴NH=1為定值，故不變.