Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝4cm，點E為AC邊上一點，且AE＝3cm，動點P從點A出發，以1cm/s的速度沿線段AB向終點B運動，運動時間為x s．作∠EPF＝90°，與邊BC相交于點F．設BF長為ycm．

（1）當x＝ s時，EP＝PF；

（2）求在點P運動過程中，y與x之間的函數關系式；

（3）點F運動路程的長是 cm．

Answer 1

【答案】（1）當x=1s時，EP=PF；（2）y=﹣x2+x；（3）點F運動路程是cm．

【解析】

（1）利用全等三角形的性質即可解決問題；

（2）利用相似三角形的性質，即可解決問題；

（3）兩條二次函數的性質，求出y的最大值即可解決問題；

（1）∵四邊形ABCD是正方形，∠EPF=90°，

∴∠A=∠B=90°，

∴∠APE+∠AEP=90°，∵∠APE+∠BPF=90°，

∴∠BPF=∠AEP，∵EP=PF，

∴△AEP≌△BPF，

∴AE=PB=3，

∴AP=AB﹣PB=1，

∴當x=1s時，EP=PF；

（2）∵∠EPF=90°，

∴∠EPA+∠BPF=90°

又∵∠EPA+∠AEP=90°，

∴∠AEP=∠BPF，

在△EAP與△PBF中，

∠AEP=∠BPF，∠EAP=∠PBF=90°，

∴△EAP∽△PBF，

∴=，即=，

∴y=﹣x2+x．

（3）∵y=﹣x2+x=﹣（x﹣2）2+，

∵﹣＜0，

∴y有最大值，最大值為，

∴點F運動路程是cm．