Question

如圖，Rt△ABO在直角坐標(biāo)系中，∠ABO=90°，點(diǎn)A（-25，0），∠A的正切值為，直線AB與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）將△ABO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在x軸正半軸上的B′處．試在直角坐標(biāo)系中畫出旋轉(zhuǎn)后的△A′B′O，并寫出點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
（3）在直線OA′上是否存在點(diǎn)D，使△COD與△AOB相似？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AO于H，由tgA=，設(shè)BH=4k，AH=3k，則AB=5k
在Rt△ABO中，
∵tgA=，AO=25，
∴AB=15
∴k=3，
∴BH=12，AH=9，
∴OH=16
∴B（-16，12）

（2）正確畫圖
A′（20，15）

（3）在Rt△AOC中，AO=25，tgA=，
∴OC=
設(shè)OA′的解析式為y=kx，則15=20k，則k=，
∴y=x
∵△ABO旋轉(zhuǎn)至△A′B′O，
∴∠AOB=∠A′OB′，
∵∠AOB+∠A=90°，∠COA′+∠A′OB′=90°，
∴∠A=∠COA′
∴在直線OA′上存在點(diǎn)D符合條件，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，x），則OD=
1°當(dāng)即，也即x=16時(shí)，△COD與△AOB相似，
此時(shí)D（16，12）
2°當(dāng)即，也即x=時(shí)，△COD與△AOB相似，
此時(shí)D（）
分析：（1）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AO于H，由tgA=，設(shè)BH=4k，AH=3k，則AB=5k，在Rt△ABO中由tgA=，AO=25即可求出AB、BH、AH及OH的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出△A′B′C′，由OB′A′B′的長(zhǎng)即可求出A′點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在Rt△AOC中，由AO=25，tgA=可求出OC的長(zhǎng)，設(shè)OA′的解析式為y=kx，由A′點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出k的值，由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出在直線OA′上存在點(diǎn)D符合條件，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，x），則OD=，分別根據(jù)△COD∽△AOB、△COD∽△AOB求出x的值，進(jìn)而可得出D點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及到坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及解直角三角形，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．