Question

【題目】如圖1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF繞著邊AB的中點D旋轉， DE，DF分別交線段AC于點M，K．

（1）觀察： ①如圖2、圖3，當∠CDF=0° 或60°時，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．

②如圖4，當∠CDF=30° 時，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．

（2）猜想：如圖1，當0°＜∠CDF＜60°時，AM+CK_______MK，證明你所得到的結論．

（3）如果，請直接寫出∠CDF的度數和的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）∠CDF的度數為45°，的值為．

【解析】（1）先證明△CDA是等腰三角形，再根據等腰三角形的性質證明AM+CK=MK；在△MKD中，AM+CK＞MK（兩邊之和大于第三邊）；

（2）作點C關于FD的對稱點G，連接GK，GM，GD．證明△ADM≌△GDM后，根據全等三角形的性質，GM=AM，GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK；

（3）根據勾股定理的逆定理求得∠GKM=90°，又∵點C關于FD的對稱點G，∴＜CKG=90°，＜FKC=＜CKG=45°，根據三角形的外角定理，就可以求得∠CDF=15°；在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°，∴∠GMK=30°，利用余弦定理解得．