Question

【題目】如圖，已知直線與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線經過B、C兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當面積最大時，請求出點E的坐標；

（3）在（2）的結論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，有最大值，此時；（3）或或．

【解析】

(1）要求拋物線的解析式，先根據一次函數求點B和點C的坐標，再利用待定系數法求出二次函數的解析式；（2）要求當面積最大時，點E的坐標，首先過點E作軸，交直線BC于點G，設出點E的坐標，表示出點G的坐標，然后表示出EG的長，利用三角形面積公式及二次函數的最值即可得出點E的坐標；（3）要求使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形的點P的坐標，分三種情況：①以AM為邊時，四邊形AMQP是平行四邊形；②以AM為邊，四邊形AMPQ是平行四邊形；③以AM為對角線時，四邊形APMQ是平行四邊形，根據平行四邊形的特征，即可求出點P的坐標．

解：（1）當時，，∴，當時，，解得，∴，

把和代入拋物線中得：解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）如解圖①，過點E作軸，交直線BC于點G．

圖①

設，則，

∴，

∴，∵，

∴當時，有最大值，∴此時；

（3）存在，點P的坐標是或或．

[解法提示]

，

對稱軸是直線，∴，

∵點Q是拋物線對稱軸上的動點，∴點Q的橫坐標為，

在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形；

①如解圖②，以AM為邊時，四邊形AMQP是平行四邊形，由（2）可得點M的橫坐標是3，

∵點M在直線上，∴點M的坐標是，又∵點A的坐標是，點Q的橫坐標為，根據點M到點Q的平移規律可知點P的橫坐標為，∴；

②如解圖③，以AM為邊時，四邊形AMPQ是平行四邊形，

由（2）可得點M的橫坐標是3，

∵，且點Q的橫坐標為，

根據點A到點Q的平移規律可知點P的橫坐標為，∴；

圖② 圖③

③如解圖④，以AM為對角線時，四邊形APMQ是平行四邊形，根據點M到點Q的平移規律可得點P到點A的平移規律可知點P的橫坐標為，∴；

圖④

綜上所述，在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標是或或．