Question

如圖1，在x軸正半軸上以OB為斜邊、BC為直角邊向第一象限分別作等腰Rt△AOB和Rt△CDB． OA=8，BC=4，在∠ABD內有一半徑為1，且與AB、BD相切的⊙P．
（1）寫出⊙P的圓心坐標；
（2）若△CDB在x軸上以每秒2個單位的速度向左勻速平移，⊙P同時相應在BA和BD上滑動，且保持與BA、BD相切，至⊙P終止運動．設運動時間為t秒，試用含t的代數式表示P點坐標；并證明P點的橫、縱坐標之和為定值；
（3）如圖2，過D點作x軸的平行線交AB于E，D’B’與AB交于M，在滿足（2）的前提下，t取何值時，⊙P可成為△D’EM的內切圓；如果⊙P與DE相切于點F，求△AEF的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰直角三角形的性質可求，點P的橫坐標和縱坐標；
（2）由等腰直角三角形BBM的性質可知：設點P的橫坐標為8-t，把P點的縱橫坐標用t表示出來，從而找出P點的橫、縱坐標之間的關系．
（3）當⊙P成為△D′EM的內切圓時，根據內切圓的性質，分別求出D′M，B′M，D′M，BB′，再根據已知關系求出t值，從而求出三角形AEF的面積．
解答：解：

（1）作PM⊥AB，
∵圓P與AB、BD與P相切，
∴BP平分∠ABD，
∵∠ABO=∠DBC，
∴∠ABD=90°，
∴∠PBA=45°，
∴∠ABO+∠PBA=90°，即BP⊥x軸，
而BP=r=，OB=OA=8，
∴點P的橫坐標為8，縱坐標為，則P（8，），

（2）根據題意可知，點P的橫坐標為8-t，縱坐標為+t，則P（8-t，+t），
因為8-t++t=9，所以P點的橫、縱坐標之和為定值；

（3）當⊙P成為△D′EM的內切圓時，D′M=2+，B′M=4-D′M=3-2，BB′=6-2，
即2t=6-2，得t=3-，
S_△AEF=×（+1）（4--1-3+）=2．
點評：此題是一個動點問題，考查正方形的性質，中位線的性質及圖形面積的求法，作為壓軸題，綜合了初中階段的重點知識，能夠培養同學們綜合運用知識的能力．