Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點P是△ABC內一點，且∠PAC+∠PCA=，連接PB，試探究PA、PB、PC滿足的等量關系．

（1）當α=60°時，將△ABP繞點A逆時針旋轉60°得到△ACP′，連接PP′，如圖1所示．由△ABP≌△ACP′可以證得△APP′是等邊三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小為　 　度，進而得到△CPP′是直角三角形，這樣可以得到PA、PB、PC滿足的等量關系為　 　；

（2）如圖2，當α=120°時，參考（1）中的方法，探究PA、PB、PC滿足的等量關系，并給出證明；

（3）PA、PB、PC滿足的等量關系為　 　．

Answer 1

【答案】（1）150，PA2+PC2=PB2；（2）3PA2+PC2=PB2；（3）4PA2sin2+PC2=PB2

【解析】試題分析：（1）根據旋轉變換的性質得到△PAP′為等邊三角形，得到∠P′PC=90°，根據勾股定理解答即可；
（2）如圖2，作將△ABP繞點A逆時針旋轉120°得到△ACP′，連接PP′，作AD⊥PP′于D，根據余弦的定義得到PP′=PA，根據勾股定理解答即可；
（3）與（2）類似，根據旋轉變換的性質、勾股定理和余弦、正弦的關系計算即可．

試題解析：

（1）∵△ABP≌△ACP′，

∴AP=AP′，

由旋轉變換的性質可知，∠PAP′=60°，P′C=PB，

∴△PAP′為等邊三角形，

∴∠APP′=60°，

∵∠PAC+∠PCA==30°，

∴∠APC=150°，

∴∠P′PC=90°，

∴PP′2+PC2=P′C2，

∴PA2+PC2=PB2，

故答案為：150，PA2+PC2=PB2；

（2）如圖2，作將△ABP繞點A逆時針旋轉120°得到△ACP′，連接PP′，

作AD⊥PP′于D，

由旋轉變換的性質可知，∠PAP′=120°，P′C=PB，

∴∠APP′=30°，

∵∵∠PAC+∠PCA==60°，

∴∠APC=120°，

∴∠P′PC=90°，

∴PP′2+PC2=P′C2，

∵∠APP′=30°，

∴PD=PA，

∴PP′=PA，

∴3PA2+PC2=PB2；

（3）如圖2，與（2）的方法類似，

作將△ABP繞點A逆時針旋轉α得到△ACP′，連接PP′，

作AD⊥PP′于D，

由旋轉變換的性質可知，∠PAP′=α，P′C=PB，

∴∠APP′=90°﹣，

∵∵∠PAC+∠PCA=，

∴∠APC=180°﹣，

∴∠P′PC=（180°﹣）﹣（90°﹣）=90°，

∴PP′2+PC2=P′C2，

∵∠APP′=90°﹣，

∴PD=PAcos（90°﹣）=PAsin，

∴PP′=2PAsin，

∴4PA2sin2+PC2=PB2，

故答案為：4PA2sin2+PC2=PBspan>2．