Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，O是坐標原點．點A在x軸的正半軸上，點A的坐標為（10，0）．一條拋物線經過O，A，B三點，直線AB的表達式為，且與拋物線的對稱軸交于點Q．

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖2，在A，B兩點之間的拋物線上有一動點P，連結AP，BP，設點P的橫坐標為m，△ABP的面積S，求出面積S取得最大值時點P的坐標；

（3）如圖3，將△OAB沿射線BA方向平移得到△DEF，在平移過程中，以A，D，Q為頂點的三角形能否成為等腰三角形？如果能，請直接寫出此時點E的坐標（點O除外）；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當S取得最大值16時，點P的坐標為（6，6）；（3）以A，D，Q為頂點的三角形能成為等腰三角形，點E坐標為：E1（21，），E2（15，），E3（），E4（16，﹣3）．

【解析】

（1）將點A的坐標（10，0）．O（0，0）代入拋物線，解出b，c，再代回，即可得拋物線的解析式；

（2）先將直線與拋物線解析式聯立，解出點B坐標，再設出點P和點G坐標，用相關點的橫縱坐標表示線段長河高，從而可得面積的表達式，再從函數角度即可得解；

（3）利用勾股定理分別表示出AD2，AQ2，QD2，再分AD＝AQ，AD＝QD，AQ＝QD，分別來求解，從而得點D坐標，再將其橫坐標加10，縱坐標不變即可得點E的坐標．

解：（1）∵拋物線經過O，A，B三點，點A的坐標為（10，0）．O（0，0），

∴

∴，

∴拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x．

（2）由得﹣x2+x＝，

∴x＝2或x＝10，

∴點B（2，4）．

如圖2，作PC⊥x軸于C點，交AB于點G，

∵動點P在拋物線上，直線AB的表達式為，

∴設P（m，﹣m2+m），G（m，），

∴PG＝﹣m2+3m﹣5，

∴S＝PG（xA﹣xG）+PG（xG﹣xB）＝（﹣m2+3m﹣5）（10﹣2）＝﹣m2+12m﹣20＝﹣（m﹣6）2+16，

∴當m＝6時，S最大＝16，

∴P（6，6）

答：當S取得最大值時點P的坐標為（6，6）．

（3）∵拋物線的對稱軸為x＝5，點Q在直線上，

∴Q點坐標為（5，），D點在過O點且平行于AB的直線y＝上，設D（a，），

∴AD2＝（10﹣a）2+a2，AQ2＝25+＝，QD2＝（a﹣5）2+

①當AD＝AQ時，（10﹣a）2+a2＝，解得a1＝11，a2＝5，

∴D1（11，），D2（5，﹣）；

∴E1（21，），E2（15，-）；

②當AD＝QD時，（10﹣a）2+a2＝（a﹣5）2+，解得a＝，

∴D3（，），E3（，）；

③當AQ＝QD時，＝（a﹣5）2+，解得a＝6，

∴D4（6，﹣3），E4（16，﹣3）

綜上所述，以A，D，Q為頂點的三角形能成為等腰三角形，點E坐標為：E1（21，），E2（15，），E3（，），E4（16，﹣3）．