Question

【題目】已知：如圖，在菱形ABCD中，F為邊AB的中點，DF與對角線AC交于點G，過G作GE⊥AD于點E，若AB=2，且∠1=∠2，則下列結論正確個數的有（　　）

①DF⊥AB；②CG=2GA；③CG=DF+GE；④S四邊形BFGC=﹣1.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAC=∠DAC，AB∥CD，∴∠1=∠ACD，

∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴AE=ED，

∵GE⊥AD，∴AD=2AE，

∵AB=2AF，∴AE=AF，

又∵AG=AG，∴△FAG≌△EAF，∴∠AFG=∠AEG=90°，∴DF⊥AB，故①正確；

∵AB//CD，∴△AFG∽△CDG，∴CG：AG=CD：AF，∵AF= AB，AB=CD，∴CG：AG=2：1，∴CG=2AG，故②正確；

延長CB交DF的延長線于點，

∵AD//BC，∴∠M=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠M，∴CG=MG，

在△ADF和△BMF中，

∵∠M＝∠2，∠BFM＝∠AFD(對頂角相等)，BF＝AF，

∴△ADF≌△BMF（AAS），∴MF=DF，

∵△FAG≌△EAF，∴FG=EG，

∵GM=GF+MF，∴CG=DF+GE，故③正確；

由以上可得BO=1，AC=2 ，FG= ，

∴S四邊形BFGC=S△ABC-S△AFG= ×2×1- ××1=，故④錯誤；

故選C.