Question

【題目】如圖①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,過(guò)點(diǎn)C在△ABC外作直線MN,AM⊥MN于點(diǎn)M,BN⊥MN于點(diǎn)N.

(1)試說(shuō)明:MN=AM+BN.

(2)如圖②,若過(guò)點(diǎn)C作直線MN與線段AB相交,AM⊥MN于點(diǎn)M,BN⊥MN于點(diǎn)N(AM>BN),(1)中的結(jié)論是否仍然成立?說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) 答案見(jiàn)解析;(2) 不成立

【解析】試題分析：（1）利用互余關(guān)系證明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可證△AMC≌△CNB，從而有AM=CN，MC=BN，即可得出結(jié)論；

（2）類似于（1）的方法，證明△AMC≌△CNB，從而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN與MN之間的數(shù)量關(guān)系．

試題解析：解：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°．

∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB．

在△AMC和△CNB中，∵∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM=CN，MC=NB．

∵MN=NC+CM，∴MN=AM+BN；

（2）圖（1）中的結(jié)論不成立，MN=BN-AM．理由如下：

∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC=∠CNB=90°．

∵∠ACB=90°，∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，∴∠MAC=∠NCB．

在△AMC和△CNB中，∵∠AMC＝∠CNB，∠MAC＝∠NCB，AC＝CB，∴△AMC≌△CNB（AAS），∴AM=CN，MC=NB．

∵MN=CM-CN，∴MN=BN-AM．