Question

【題目】如圖：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC邊上的中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F，給出以下四個結論：

①AE=CF；②EF=AP；③2S四邊形AEPF=S△ABC；④當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A，B重合）有BE+CF=EF；上述結論中始終正確的序號有__________．

Answer 1

【答案】①③

【解析】

根據題意，容易證明△AEP≌△CFP，然后能推理得到①③都是正確．

∵AB=AC，∠BAC=90°，點P是BC的中點，

∴∠EAP=∠BAC=45°，AP=BC=CP．

①在△AEP與△CFP中，

∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，

∴△AEP≌△CFP，

∴AE=CF．正確；

②只有當F在AC中點時EF=AP，故不能得出EF=AP，錯誤；

③∵△AEP≌△CFP，同理可證△APF≌△BPE．

∴S四邊形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC，即2S四邊形AEPF=S△ABC；正確；

④根據等腰直角三角形的性質，EF=PE，

所以，EF隨著點E的變化而變化，只有當點E為AB的中點時，EF=PE=AP，在其它位置時EF≠AP，故④錯誤；

故答案為：①③．