Question

【題目】如圖 1，將一張矩形紙片 ABCD 沿著對角線 BD 向上折疊，頂點 C 落到點 E 處，BE 交 AD 于點 F.

（1）求證：△BDF 是等腰三角形；

（2）如圖 2，過點 D 作 DG∥BE，交 BC 于點 G，連接 FG 交 BD 于點 O.

①判斷四邊形 BFDG 的形狀，并說明理由；

②若 AB=6，AD=8，則 FG 的長為_____.

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析：（1）證明△BDF是等腰三角形，可證明BF=DF，可通過證明∠EBD=∠FDB實現，利用折疊的性質和平行線的性質解決．

（2）①先判斷四邊形BFDG是平行四邊形，再由（1）BF=FD得到結論；

②要求FG的長，可先求出OF的長，在Rt△BFO中，BO可由AB、AD的長及菱形的性質求得，解決問題的關鍵是求出BF的長．在Rt△BFA中，知AB=6、AF+BF=AD=8，可求出BF的長，問題得以解決．

試題解析：解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，由折疊的性質可知：∠EBD=∠CBD，∴ADB=∠EBD，∴BF=FD，∴△BDF是等腰三角形；

（2）①四邊形BFDG是菱形．理由：

∵FD∥BG，DG∥BE，∴四邊形BFDG是平行四邊形．

又∵BF=DF，∴四邊形BFDG是平行四邊形；

②設AF=x，則FD=8﹣x，∴BF=FD=8﹣x．

在Rt△ABF中，62+x2=（8﹣x）2，解得：x=，∴FD=8﹣=．在Rt△ABD中，∵AB=6，AD=8，∴BD=10．

∵四邊形BFDG是菱形，∴OD=BD=5，FO=FG，FG⊥BD．在Rt△ODF中，∵FO2+DO2=FD2，即FO2+52=（）2，∴FO=，∴FG=2FO=．