Question

閱讀下面材料，完成相應的填空：
（1）雙循環與單循環問題：
小田是個足球迷，他發現有的比賽是單循環的，就是每兩個球隊之間只賽一場；有的比賽是雙循環的，每兩個球隊按主客場要賽兩場，同時小田又是個數學迷，他想探究如果有n（n≥2）個球隊進行雙循環比賽，一共要賽多少場？
①小田覺得從特殊情況入手可能會找到靈感，于是他取n=2，要賽2場；n=3，賽6場；n=4，賽12場；那么n=5，要賽

20

場…，由此得出，n（n≥2）個球隊進行雙循環比賽，一共要賽

n（n-1）

場．
②聰明的小田由①中的結論，很快地得出n（n≥2）個球隊單循環比賽場數為

n(n-1)

2

；
（2）知識遷移：①平面內有10個點，且任意3個點不在同一條直線上，經過每兩點畫一條直線，一共能畫

45

條不同的直線．②一個n邊形（n≥3）有

n(n-3)

2

條對角線．

Answer 1

分析：（1）①n支球隊舉行雙循環比賽，由于每一球隊都要比賽（n-1）場，又每兩個球隊按主客場要賽兩場，所以n（n≥2）個球隊一共要賽 n（n-1）場；
②由于是單循環比賽，每兩個球隊之間只賽一場，則共比賽

n(n-1)

2

；
（2）①根據第（1）題可知當n=10時，一共可以畫（10×9）÷2=45條直線；
②從n邊形的一個頂點出發，能引出（n-3）條對角線，一共有

n(n-3)

2

條對角線．

解答：解：（1）①當n=5時，每支球隊與另外4支隊伍比賽，共有4×5=20場比賽；
n支球隊每支球隊與其余隊伍比賽n-1場，共有n（n-1）；
②單循環則為

n(n-1)

2

；

（2）①當平面上有2個點時，可以畫

2×1

2

=

2×(2-1)

2

條直線；
當平面上有3個點時，可以畫

3×2

2

=

3×(3-1)

2

=3條直線；
…
當平面上有n（n≥2）個點時，可以畫

n(n-1)

2

條直線；
因此當n=10時，一共可以畫（10×9）÷2=45條直線．
②過n邊形（n≥3）的一個頂點可以作（n-3）條對角線，
這個n邊形共有

n(n-3)

2

條對角線．
故答案為：20，

n(n-1)

2

；45，

n(n-3)

2

．

點評：此題是一道探求規律題，考查了數字的變化類問題，解題的關鍵是讀懂題意，找出規律，并應用得到的規律解決實際問題．