Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，點C、D在圓O上，且AD平分∠CAB．過點D作AC的垂線，與AC的延長線相交于E，與AB的延長線相交于點F．

求證：EF與圓O相切．

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】

試題分析：連接OD，作出輔助線，只要證明OD⊥EF即可，根據題目中的條件可知，∠FOD與∠FAD的關系，由AD平分∠CAB，可知∠EAF與∠FAD之間的關系，又因為AE⊥EF，從而可以推出OD垂直EF，本題得以解決．

試題解析：連接OD，如右圖所示，

∵∠FOD=2∠BAD，AD平分∠CAB，

∴∠EAF=2∠BAD，

∴∠EAF=∠FOD，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF=90°，

∴∠EAF+∠EFA=90°，

∴∠DFO+∠DOF=90°，

∴∠ODF=90°，

∴OD⊥EF，

即EF與圓O相切．