Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點坐標為，點坐標為，點是拋物線的頂點，過點作軸的垂線，垂足為，連接．

（1）求拋物線的解析式及點的坐標；

（2）點是拋物線上的動點，當時，求點的坐標；

（3）若點是軸上方拋物線上的動點，以為邊作正方形，隨著點的運動，正方形的大小、位置也隨著改變，當頂點或恰好落在軸上時，請直接寫出點的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1），；（2）點的坐標為或；（3）點的橫坐標為或0或2或．

【解析】

（1）將點B、C坐標代入可求得解析式，將二次函數轉化為頂點式，得出頂點；

（2）過作軸于點，設出點F的坐標，利用可得結果；

（3）分2種情況討論，一種是點G在y軸上，另一種是H在y軸上，利用矩正方形夾角為90°和鄰邊相等的性質可求得．

（1）把點坐標為，點坐標為代入拋物線得：

解得：

∴，

∴；

（2）如圖，在線段上選取點，使得，過作軸于點．

此時．

設，

在中，

．

即．

解得．

∴．

設，則，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，，

即，

當點在軸上方時，有，

解得（舍去），，

此時點的坐標為；

當點在軸下方時，有，

解得（舍去），，

此時點的坐標為；

綜上可知點的坐標為或；

（3）情況一：點G在y軸上

設點P(m，)

∵

∴點P(m，)

∵點B(4，0)

∴根據B、P兩點可得PB的解析式為：

∵四邊形PHGB是矩形，∴BG⊥PB

∴直線BG的解析式中，k=

將點B代入BG的解析式，可求得BG的解析式為：

∵點G在y軸上，令x=0，解得：y=

∴G(0，)

∵四邊形PHGB是矩形，∴PB=BG，

根據點B、P的坐標得：

根據點B、G的坐標得：

另，即

∵

∴化簡得：

a.(m-4)(m+2)=8

解得：m=1+(舍)，或m=1-(舍)

b.(m-4)(m+2)=-8

解得：m=0，或m=2

情況二：點H在y軸上

同上:點P(m，)，點B(4，0)，根據B、P兩點可得PB的解析式為：，

∵四邊形PHGB是矩形，∴PH⊥PB

∴PH解析式的k=

將點P代入PH的解析式，可求得PH的解析式為：

∴H(0，)

根據點P、H的坐標得：

同理，，即：

化簡得：

a.

解得：m=2+(舍)，或m=2－2

b.

解得：m=2，或m=-2(舍)

綜上得：點的橫坐標為或0或2或