Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長是4，∠DAC的角平分線交DC于點E，點P、Q分別是邊AD和AE上的動點（兩動點不重合）．

（1）PQ+DQ的最小值是　 　．

（2）說出PQ+DQ取得最小值時，點P、Q的位置，并在圖中畫出；

（3）請對（2）中你所給的結論進行證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）畫圖見解析；（3）證明見解析.

【解析】解：（１）；…………………………………………………………２分

（２）如圖４，過點Ｄ作ＤＦ⊥ＡＣ，垂足為Ｆ，………………………３分

ＤＦ與ＡＥ的交點即為點Ｑ；………………………………………………４分

過點Ｑ作ＱＰ⊥ＡＤ，垂足即為點Ｐ；……………………………………５分

（３）由（２）知，ＤＦ為等腰Ｒt△ＡＤＣ底邊上的高，

∴ＤＦ＝ＡＤ·sin４５°＝４×＝．…………………………６分

∵ＡＥ平分∠ＤＡＣ，Ｑ為ＡＥ上的點，

且ＱＦ⊥ＡＣ于點Ｆ，ＱＰ⊥ＡＤ于點Ｐ，

∴ＱＰ＝ＱＦ（角平分線性質定理），……………………………………７分

∴ＰＱ＋ＤＱ＝ＦＱ＋ＤＱ＝ＤＦ＝．

下面證明此時的ＰＱ＋ＤＱ為最小值：

在ＡＥ上取異于Ｑ的另一點Ｑ１（圖5）．…………………………………９分

①過Ｑ１點作Ｑ１Ｆ１⊥ＡＣ于點Ｆ１，………………………………………１０分

過Ｑ１點作Ｑ１Ｐ１⊥ＡＤ于點Ｐ１，…………………………………………１１分

則Ｐ１Ｑ１＋ＤＱ１＝Ｆ１Ｑ１＋ＤＱ１，

由“一點到一條直線的距離”，可知，垂線段最短，

∴得Ｆ１Ｑ１＋ＤＱ１＞ＦＱ＋ＤＱ，

即Ｐ１Ｑ１＋ＤＱ１＞ＰＱ＋ＤＱ．…………………………………………１２分

②若Ｐ２是ＡＤ上異于Ｐ１的任一點，………………………………………１３分

可知斜線段Ｐ２Ｑ１＞垂線段Ｐ１Ｑ１，………………………………………１４分

∴Ｐ２Ｑ１＋ＤＱ１＞Ｐ１Ｑ１＋ＤＱ１＞ＰＱ＋ＤＱ．

從而可得此處ＰＱ＋ＤＱ的值最小．

此題考核正方形的性質，利用垂線段最短求證最小值