Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+2x+8與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且B（4，0）．

(1)求拋物線的解析式及其頂點D的坐標；

(2)如果點P（p，0）是x軸上的一個動點，則當|PC﹣PD|取得最大值時，求p的值；

(3)能否在拋物線第一象限的圖象上找到一點Q，使△QBC的面積最大，若能，請求出點Q的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣（x﹣1）2+9 ，D（1，9）； (2)p=﹣8；（3）存在點Q（2，8）使△QBC的面積最大．

【解析】

（1）把點B的坐標代入y=ax2+2x+8求得a的值，即可得到該拋物線的解析式，再把所得解析式配方化為頂點式，即可得到拋物線頂點D的坐標；

（2）由題意可知點P在直線CD上時，|PC﹣PD|取得最大值，因此，求得點C的坐標，再求出直CD的解析式，即可求得符合條件的點P的坐標，從而得到p的值；

（3）由（1）中所得拋物線的解析式設點Q的坐標為（m，﹣m2+2m+8）（0＜m＜4），然后用含m的代數式表達出△BCQ的面積，并將所得表達式配方化為頂點式即可求得對應點Q的坐標.

（1）∵拋物線y=ax2+2x+8經過點B（4，0），

∴16a+8+8=0，

∴a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9，

∴D（1，9）；

（2）∵當x=0時，y=8，

∴C（0，8）．

設直線CD的解析式為y=kx+b．

將點C、D的坐標代入得：，解得：k=1，b=8，

∴直線CD的解析式為y=x+8．

當y=0時，x+8=0，解得：x=﹣8，

∴直線CD與x軸的交點坐標為（﹣8，0）．

∵當P在直線CD上時，|PC﹣PD|取得最大值，

∴p=﹣8；

（3）存在，

理由：如圖，由（2）知，C（0，8），

∵B（4，0），

∴直線BC的解析式為y=﹣2x+8，

過點Q作QE∥y軸交BC于E，

設Q（m，﹣m2+2m+8）（0＜m＜4），則點E的坐標為：（m，﹣2m+8），

∴EQ=﹣m2+2m+8﹣（﹣2m+8）=﹣m2+4m，

∴S△QBC=（﹣m2+4m）×4=﹣2（m﹣2）2+8，

∴m=2時，S△QBC最大，此時點Q的坐標為：（2，8）．