Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，連接CO，過B作BD//OC交⊙O于D，連接AD交OC于G，延長AB、CD交于點E．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若BE＝4，DE＝8，

①求CD的長；

②連接BC交AD于F，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①CD＝12；② ．

【解析】

（1）連接OD，由直徑所對的圓周角為直角及切線的性質，可得∠CAB=90°=∠ADB，從而可判定△AOC≌△DOC（SAS），由全等三角形的性質可得∠CDO=90°，從而由切線的判定定理可得答案；

（2）①設⊙O的半徑為r，則OD=OB=r，由勾股定理解得r，再由平行線截線段成比例定理可得比例式，從而求得CD的長；

②由CO∥BD，可判定△BDF∽△CGF；△EBD∽△EOC，從而可得比例式，結合相似三角形的性質可得答案．

（1）證明：如圖，連接OD，

∵AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，

∴∠CAB＝90°＝∠ADB，

∵OD＝OB，

∴∠DBO＝∠BDO，

∴CO//BD，

∴∠AOC＝∠COD，且AO＝OD，CO＝CO，

∴△AOC≌△DOC（SAS），

∴∠CAO＝∠CDO＝90°，

∴OD⊥CD，且OD是半徑，

∴CD是⊙O的切線；

（2）①設⊙O的半徑為r，則OD＝OB＝r，

在Rt△ODE中，

∵

∴，

解得r＝6，

∴OB＝6，

∵CO//BD，

∴，

∴CD＝12；

②∵CO//BD，

∴△BDF∽△CGF；△EBD∽△EOC．

∴

設OG＝x，

∵OG為△ABD的中位線，

∴BD＝2OG＝2x，

BE＝4，

OE＝10，

∴OC＝5x，CG＝4x，

∴