Question

【題目】如圖，四邊形是矩形紙片，AB=2．對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF；展平后再過點B折疊矩形紙片，使點A落在EF上的點N，折痕BM與EF相交于點Q再次展平，連接BN，MN，延長MN交BC于點G.有如下結論：①∠ABN= 60°；②AM=1；③；④△BMG是等邊三角形；⑤P為線段BM上一動點，H是BN的中點，則PN+PH的最小值是．其中正確結論的序號是___________.

Answer 1

【答案】①④⑤

【解析】如圖1,連接AN,

∵EF垂直平分AB，

∴AN=BN，

根據折疊的性質，可得

AB=BN，

∴AN=AB=BN.

∴△ABN為等邊三角形。

∴∠ABN=60°,∠PBN=60°÷2=30°，

即結論①正確；

∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，

∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°，

∴AM=ABtan30°=2×=，

即結論②不正確。

∵EF∥BC，QN是△MBG的中位線，

∴QN=BG；

∵BG=BM=AB÷cos∠ABM=2÷=，

∴QN=×=，

即結論③不正確。

∵∠ABM=∠MBN=30°,∠BNM=∠BAM=90°，

∴∠BMG=∠BNM∠MBN=90°30°=60°，

∴∠MBG=∠ABG∠ABM=90°30°=60°，

∴∠BGM=180°60°-60°=60°，

∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，

∴△BMG為等邊三角形，

即結論④正確。

∵△BMG是等邊三角形，點N是MG的中點，

∴BN⊥MG,∴BN=BGsin60°=×=2，

根據條件易知E點和H點關于BM對稱，

∴PH=PE，

∴P與Q重合時，PN+PH的值最小，此時PN+PH=PN+PE=EN，

∵EN= = ，

∴PN+PH=，

∴PN+PH的最小值是，

即結論⑤正確。

故答案為：①④⑤。