Question

（1998•南京）已知，如圖，⊙O₁與⊙O₂相交，點P是其中一個交點，點A在⊙O₂上，AP的延長線交⊙O₁于點B，AO₂的延長線交⊙O₁于點C、D，交⊙O₂于點E，連接PC、PE、PD，且

PC

PD

=

CE

DE

，過A作⊙O₁的切線AQ，切點為Q．求證：
（1）∠CPE=∠DPE；
（2）AQ²-AP²=PC•PD．

Answer 1

分析：（1）過D作DM∥PE交CP的延長線于M，根據平行線分線段成比例定理求出PM=PD，推出∠M=∠PDM，根據平行線的性質得出∠M=∠CPE，∠DPE=∠PDM，即可得出答案；
（2）根據切割線定理得出AQ²=AP×AB，證△APC∽△DPB，推出

AP

PD

=

PC

BP

，得出AP×BP=PC×PD，代入即可得出答案．

解答：（1）證明：過D作DM∥PE交CP的延長線于M，
則

PC

PM

=

CE

DE

，
∵

PC

PD

=

CE

DE

，
∴PM=PD，
∴∠M=∠PDM，
∵PE∥MD，
∴∠M=∠CPE，∠DPE=∠PDM，
∴∠CPE=∠DPE；

（2）證明：連接BD，
∵O₂在AE上，
∴∠APE=∠BPE=90°，
∵∠CPE=∠DPE，
∴∠APC=∠BPD，
∵P、B、D、C四點共圓，
∴∠ACP=∠B，
∴△APC∽△DPB，
∴

AP

PD

=

PC

BP

，
∴AP×BP=PC×PD，
∵AQ切⊙O₁于Q，APB是⊙O₁的割線，
∴AQ²=AP×AB，
∴AQ²-AP²=AP×AB-AP²=AP（AB-AP）=AP×BP=PC•PD，
即AQ²-AP²=PC•PD．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，圓內接四邊形的性質，等腰三角形的性質，平行線分線段成比例定理等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力．