Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=6cm， AC=12cm，動點M從點A出發，以1cm∕秒的速度向點B運動，動點N從點C出發，以2cm∕秒的速度向點A運動，若兩點同時運動，是否存在某一時刻t，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】存在，t=3秒或4.8秒.理由見解析.

【解析】

首先設經過t秒時，△AMN與△ABC相似，可得AM=t，CN=2t，AN=12-2t（0≤t≤6），然后分別從當MN∥BC時，△AMN∽△ABC與當∠AMN=∠C時，△ANM∽△ABC去分析，根據相似三角形的對應邊成比例即可求得答案．

解答：存在t=3秒或4.8秒，使以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似（無此過程不扣分）

設經過t秒時，△AMN與△ABC相似，

此時，AM=t， CN=2t， AN=12-2t（0≤t≤6），

①當MN∥BC時，△AMN∽△ABC ，

則 ＝，即＝ ，

解得t=3；

②當∠AMN=∠C時，△ANM∽△ABC，

則 ＝，即=，

解得t=4.8；

故所求t的值為3秒或4.8秒．