Question

【題目】聯想我們曾經學習過的三角形外心的概念，我們可引入準外心的定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心．請回答下面的三個問題：

（1）如圖1，若PB＝PC，則點P為△ABC的準外心，而且我們知道滿足此條件的準外心有無數多個，你能否用尺規作出另外一個準外心Q呢？請嘗試完成；

（2）如圖2，已知△ABC為直角三角形，斜邊BC＝5，AB＝3，準外心P在AC邊上，試探究PA的長；

（3）如圖3，點B既是△EDC又是△ADC的準外心，BD＝BA＝BC＝2AD，BD∥AC，CD＝，求AD的值．

Answer 1

【答案】（1）能用尺規作出另外一個準外心Q，如圖1所示：點Q為△ABC的準外心；（2）準外心P在AC邊上，PA的長為或2；（3）AD＝．

【解析】

（1）作AB的垂直平分線MN，在MN上取點Q即可；

（2）連接BP，由勾股定理得出AC=4，分三種情況討論，由直角三角形的性質即可得出答案；

（3）由BD=BA=BC，得出∠BAC=∠BCA，點D、A、C在以B為圓心，AB長為半徑的圓上，由圓周角定理得出∠ABD=2∠ACD，作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，由垂徑定理得出DE=CECD，DF=AFAD，∠ABD=2∠DBF，∠BEC=∠DFB=90°，證明△BDF≌△CBE，得出DF=BE，設DF=x，則BE=x，AD=2x，BD=2AD=4x．在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）能用尺規作出另外一個準外心Q，

作AB的垂直平分線MN，在MN上取點Q，如圖1所示：

則QA=QB，點Q為△ABC的準外心；

（2）連接BP，如圖2所示：

∵△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，

∴AC4．

∵準外心P在AC邊上，

①當PB=PC時，

設PB=x，則PC=x，PA=4﹣x，

在Rt△ABP中，由勾股定理得：32+（4﹣x）2=x2，

解得：x，

∴PA=4；

②當PA=PC時，PAAC=2；

③當PA=PB時．

∵△ABC是直角三角形，∴此情況不存在．

綜上所述：準外心P在AC邊上，PA的長為或2；

（3）∵BD=BA=BC，∴∠BAC=∠BCA，點D、A、C在以B為圓心，AB長為半徑的圓上，如圖3所示，則∠ABD=2∠ACD．

作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，

則DE=CECD，DF=AFAD，

∠ABD=2∠DBF，∠BEC=∠DFB=90°．

∵BD∥AC，

∴∠ABD=∠BAC=∠BCA=2∠ACD=2∠DBF=2∠BCE，

∴∠DBF=∠BCE．

在△BDF和△CBE中，∵，

∴△BDF≌△CBE（ASA），∴DF=BE．

設DF=x，則BE=x，AD=2x，BD=2AD=4x，

在Rt△BDE中，由勾股定理得：x2+（）2=（4x）2，

解得：x，∴AD=2x．