Question

【題目】如圖1，點D為△ABC邊BC的延長線上一點．

（1）若∠A∶∠ABC=3∶4，∠ACD=140°，求∠A的度數；

（2）若∠ABC的角平分線與∠ACD的角平分線交于點M，過點C作CP⊥BM于點P．

求證： ；

（3）在（2）的條件下，將△MBC以直線BC為對稱軸翻折得到△NBC，∠NBC的角平分線與∠NCB的角平分線交于點Q（如圖2），試探究∠BQC與∠A有怎樣的數量關系，請寫出你的猜想并證明．

Answer 1

【答案】（1）60°°；

（2）證明見解析；

（3）∠BQC=90°+ ∠A，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）先根據∠A：∠ABC=3：4，設∠A=3k，∠ABC=4k，再由三角形外角的性質求出k的值，進而可得出結論；

（2）根據三角形外角的性質得出∠M=∠MCD-∠MBC，∠A=∠ACD-∠ABC．再由MC、MB分別平分∠ACD、∠ABC得出 , ,

故,根據CP⊥BM即可得出結論；

（3）根據BQ平分∠CBN，CQ平分∠BCN可知 , ，再根據三角形內角和定理可知， ,根據軸對稱性質知：

∠M=∠N，由此可得出結論．

（1）解：∵，∴可設．

又∵ °，

∴°，

解得 °．

∴°．

（2）證明：

（3）猜想∠BQC=90°+ ∠A．

證明如下： ∵BQ平分∠CBN，CQ平分∠BCN，

∴，

∴

．

由（2）知： ，又由軸對稱性質知：∠M=∠N，

∴．

本題考查了三角形的內角和，三角形外角的性質，折疊的性質.（1）見比設參，然后根據外角的性質求解；（2）結合角平分線和外角的性質求解；（2）根據軸對稱的性質和（2）的結論求解.