Question

【題目】如圖，點是正方形對角線上一動點，點在射線上，且，連接，為中點．

（1）如圖1，當點在線段上時，試猜想與的數量關系和位置關系，并說明理由；

（2）如圖2，當點在線段上時，（1）中的猜想還成立嗎？請說明理由；

（3）如圖3，當點在的延長線上時，請你在圖3中畫出相應的圖形，并判斷（1）中的猜想是否成立？若成立，請直接寫出結論；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）且，詳見解析；（2）猜想成立，詳見解析；（3）猜想成立

【解析】

（1）根據點P在線段AO上時，利用三角形的全等判定和性質以及四邊形內角和定理可以得出PE⊥PD，PE=PD；
（2）利用三角形全等得出，BP=PD，由PB=PE，得出PE=PD，要證PE⊥PD；從三方面分析，當點E在線段BC上（E與B、C不重合）時，當點E與點C重合時，點P恰好在AC中點處，當點E在BC的延長線上時，分別分析即可得出；
（3）根據題意作出圖形，利用（2）中證明思路即可得出答案．

（1）當點P在線段AO上時，且，理由如下：
∵四邊形是正方形，為對角線，

∴，，

在△ABP和△ADP中，

，
∴△ABP≌△ADP，
∴，，，

又∵，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵正方形中，，

∴，

∴；

（2）當點在線段上時，且，理由如下：

∵四邊形是正方形，為對角線，

∴，，

又，

∴，

∴，

又∵，

∴，

①當點與點重合時，；

②當點在的延長線上時，如圖所示，

∵，

∴，

∴，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

綜上所述：．

∴當點在線段上時，（1）中的猜想成立；

（3）當點在線段的延長線上時，如圖所示，（1）中的猜想成立．

∵四邊形是正方形，點在的延長線上，

∴，，

又，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．