Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，AB=BC；在Rt△ADE中，AD=DE；連結EC，取EC的中點M，連結DM和BM．

（1）若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖①，

求證：BM=DM且BM⊥DM；

（2）如果將圖①中的△ADE繞點A逆時針旋轉小于45°的角，如圖②，那么（1）中的結論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明．

圖① 圖②

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）當△ADE繞點A逆時針旋轉小于45°的角時，（1）中的結論成立

【解析】分析：(1)、根據直角三角形斜邊上的中線的性質得出BM=DM，然后根據四點共圓可以得出∠BMD=2∠ACB=90°，從而得出答案；(2)、連結BD，延長DM至點F，使得DM=MF，連結BF、FC，延長ED交AC于點H，根據題意得出四邊形CDEF為平行四邊形，然后根據題意得出△ABD和△CBF全等，根據角度之間的關系得出∠DBF=∠ABC =90°．

詳解：（1）在Rt△EBC中，M是斜邊EC的中點，∴．

在Rt△EDC中，M是斜邊EC的中點，∴．

∴BM=DM，且點B、C、D、E在以點M為圓心、BM為半徑的圓上．

∴∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM．

（2）當△ADE繞點A逆時針旋轉小于45°的角時，（1）中的結論成立．

證明：連結BD，延長DM至點F，使得DM=MF，連結BF、FC，延長ED交AC于點H．

∵ DM=MF，EM=MC， ∴ 四邊形CDEF為平行四邊形，∴ DE∥CF ，ED =CF，

∵ ED= AD，∴ AD=CF， ∵ DE∥CF，∴ ∠AHE=∠ACF．

∵,，

∴ ∠BAD=∠BCF， 又∵AB= BC， ∴ △ABD≌△CBF，∴ BD=BF，∠ABD=∠CBF，

∵ ∠ABD+∠DBC =∠CBF+∠DBC，∴∠DBF=∠ABC =90°．

在Rt△中，由, ，得BM=DM且BM⊥DM．