Question

【題目】如圖，直線與x軸交于點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若M是拋物線上一點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）P(2，－3)；（3）點(diǎn)P為(3，－2)或(，)

【解析】

（1）將點(diǎn)B坐標(biāo)代入直線，求出c的值，并求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)B、C代入拋物線可求得解析式；

（2）因?yàn)?/span>S四邊形ACPB=S△ABC+S△PCB，又因?yàn)?/span>S△ABC是常數(shù)，故四邊形面積最大，只需要S△PCB最大即可；

（3）存在2種情況，一種是點(diǎn)M在CB下方，根據(jù)平行可得點(diǎn)M的坐標(biāo)；另一種是點(diǎn)M在CB上方，如圖，利用NB=NC來(lái)求解．

（1）∵直線過(guò)點(diǎn)B(4，0)

∴0=，解得：c=－2

∴直線的解析式為：y=

∵點(diǎn)C是直線與y軸的交點(diǎn)

∴C(0，－2)

將B(4，0)、C(0，－2)代入拋物線得：

解得：c=－2，b=

∴拋物線的解析式為：y=；

（2）如下圖，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交CB于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)G，連接CP、PB

∵S四邊形ACPB=S△ABC+S△PCB，

又∵S△ABC是常數(shù)，

∴要想四邊形面積最大，只需要S△PCB最大

設(shè)點(diǎn)P(x，)

由圖形可知，S△CPB=S△CPH+S△PHB

在△CPH中，以HP為底，則點(diǎn)C到HP的距離為高，即OG的長(zhǎng)

在△PHB中，以HP為底，則點(diǎn)B到HP的距離為高，即GB的長(zhǎng)

∴

∵A(－1,0)，B(4,0),∴OB=4

∵點(diǎn)P(x，)

∴點(diǎn)H(x，)

∴HP=+2x

∴=

∵－1＜0，∴有最大值，此時(shí)，x=

則點(diǎn)P(2，－3)；

（3）情況一：如下圖，點(diǎn)M在CB下方

∵∠ABC=∠BCM

∴AB∥CM

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為－2，代入拋物線得：

－2=

解得：x=0(舍)或x=3

∴點(diǎn)P(3，－2)；

情況二：如下圖，點(diǎn)M早CB上方，連接CM交x軸于點(diǎn)N

∵∠MCB=∠ABC

∴△NCB是等腰三角形，NB=NC，∴

設(shè)點(diǎn)M(m，)

∵點(diǎn)C(0，－2)

∴MC所對(duì)應(yīng)的直線解析式為：y=

令y=0，解得x=

∴N(，0)

∴NB=4－，

∵點(diǎn)C(0，－2)，點(diǎn)N(，0)

∴+

∴+

解得：m=

∴P(，)

綜上得：點(diǎn)P為(3，－2)或(，)．