Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點，與軸交于兩點，為頂點，為拋物線上一動點(與點不重合)

求該拋物線的解析式；

當點在直線的下方運動時，求的面積的最大值；

該拋物線上是否存在點，使？若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點的坐標為或

【解析】

（1）將點A、B、C坐標代入二次函數表達式，即可求解；

（2）利用S△PBC＝PG（xCxB），即可求解；

（3）分點P在直線BC下方、上方兩種情況，分別求解即可．

解：拋物線過兩點

可設為

又過點

解析式為；

，

設直線BC的解析式為y=kx+b

把B,C坐標代入得

解得

可得直線的解析式為：

過點作軸的垂線，交于點

設點的橫坐標為

則點的坐標為，點的坐標為

，．

當時，的面積最大，最大值為；

存在．

∵=

∴頂點的坐標為，

連接

則

是直角三角形，且．

當點在直線下方時，

設的中點為

則，

且點為直線與拋物線的交點(不與點重合)

設直線的表達式為y=px+q

把B,H的坐標代入得

解得

∴直線的表達式為

令，

解得(舍去)或

此時的坐標為

當點在直線上方時，．

設直線CD的解析式為y=mx+n

把C,D的坐標代入得

解得

∴直線的表達式為，

則可設直線的表達式為

將點代入解得

故直線的表達式為．

令，

解得或

此時點的坐標為

綜上所述，點的坐標為或．