Question

（2012•亭湖區一模）如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，F為CD延長線上一點，AF交⊙O于點G．
求證：AC²=AG•AF．

Answer 1

分析：連接CG，由⊙O的直徑AB垂直于弦CD，根據垂徑定理得弧AD=弧AC，則∠ADC=∠ACF，根據圓周角定理得∠AGC=∠ADC，于是有∠ACF=∠AGC   根據相似三角形的判定易得△ACG∽△AFC，

AC

AG

=

AF

AC

，即可得到結論．

解答：證明：連接AD、CG，如圖
∵直徑AB⊥CD，
∴弧AD=弧AC，
∴∠ADC=∠ACF，
∵∠AGC=∠ADC，
∴∠ACF=∠AGC   
而∠FAC=∠CAG，
∴△ACG∽△AFC，
∴

AC

AG

=

AF

AC

，
∴AC²=AG•AF．

點評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧．也考查了圓周角定理和三角形相似的判定與性質．