Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好經過點D，分別交AC，AB于點E，F．

（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若BD＝2，BF＝2，求陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）BC與⊙O相切，證明見解析；（2）2﹣．

【解析】

（1）連接OD，證明OD//AC，即可證得∠ODB＝90°，從而證得BC是圓的切線；

（2）在直角三角形OBD中，設OF＝OD＝x，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為圓的半徑，求出圓心角的度數，直角三角形ODB的面積減去扇形DOF面積即可確定出陰影部分面積．

解：（1）BC與⊙O相切．

證明：連接OD．

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠BAD＝∠CAD．

又∵OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA．

∴OD//AC．

∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．

又∵BC過半徑OD的外端點D，

∴BC與⊙O相切．

（2）設OF＝OD＝x，則OB＝OF+BF＝x+2，

根據勾股定理得：OB2＝OD2+BD2，即(x+2)2＝x2+12，

解得：x＝2，即OD＝OF＝2，

∴OB＝2+2＝4，

∵Rt△ODB中，OD＝OB，

∴∠B＝30°，

∴∠DOB＝60°，

∴S扇形DOF＝＝，

則陰影部分的面積為S△ODB﹣S扇形DOF＝×2×2﹣＝2﹣．

故陰影部分的面積為2﹣．