Question

【題目】（本題8分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD⊥BC于點D,直徑CF⊥AB于點E,AD、FC的延長線交于點M。

(1)求證：EF=EM；

(2)若，AC=8，求sinM的值.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析 （2）

（1）證明：連AF，∵∠DCE=∠B+∠CEB=∠M+CDM而AD⊥BC于點D，CF⊥AB于點E,∴∠CEB=∠CDM∴∠B=∠M,又∵∠B=∠F,∴∠M=∠F,∴AM=AF又∵EF=EM

（2）解：連AO,∵CF為直徑，AB⊥CF于點E,∴AE=BE∴CA=CB,∠B=∠BAC,而∠AOE=2∠B,∠ACD=∠B+∠BAC=2∠B∴∠ACD=∠AOE,又∵AD⊥BD，AE⊥CF,∴∠ADC=∠AEO

△ADC∽△AEO,∴,而AC=8，∴CF=2AO=12

∵CF為直徑,∴∠CAF=90°,∴在Rt△CAF中

AF= ==4,∴AM=4,易求

△OCA中AC上的高為2，用面積法求得AE=,sinM=

【解析】試題分析：本題考查了外角的性質，圓周角定理的推論，等腰三角形的判定與性質，垂徑定理及其推論，相似三角形的判定與性質，勾股定理.

由三角形內角和得到∠B=∠M,由圓周角定理的推論可得∠B=∠F，從而∠M=∠F, △AMF是等腰三角形，由三線合一的性質可得EF=EM;

由垂徑定理可得CA=CB,∠B=∠BAC,由圓周角定理的推論和外角性質可得∠ACD=∠AOE,進而證明△ADC∽△AEO,得到，求出CF的長，然后根據勾股定理求AF，面積法求AE，從而求sinM的值.

試題解析：

（1）證明：連AF，∵∠DCE=∠B+∠CEB=∠M+CDM而AD⊥BC于點D，CF⊥AB于點E,∴∠CEB=∠CDM∴∠B=∠M,又∵∠B=∠F,∴∠M=∠F,∴AM=AF又∵EF=EM

（2）解：連AO,∵CF為直徑，AB⊥CF于點E,∴AE=BE∴CA=CB,∠B=∠BAC,而∠AOE=2∠B,∠ACD=∠B+∠BAC=2∠B∴∠ACD=∠AOE,又∵AD⊥BD，AE⊥CF,∴∠ADC=∠AEO

△ADC∽△AEO,∴,而AC=8，∴CF=2AO=12

∵CF為直徑,∴∠CAF=90°,∴在Rt△CAF中

AF= ==4,∴AM=4,易求

△OCA中AC上的高為2，用面積法求得AE=,sinM=